MAT169: Calculus III with Analytic Geometry
                    James V. Lambers
                     January 23, 2023
               2
                        Contents
                        1 Sequences and Series                                                              7
                            1.1   Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      7
                                  1.1.1   Sequences and Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        7
                                  1.1.2   Vectors and the Geometry of Space . . . . . . . . . . .           8
                                  1.1.3   Parametric Equations and Polar Coordinates . . . . .              9
                                  1.1.4   Example: Fibonacci Numbers . . . . . . . . . . . . . .           10
                            1.2   Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      13
                                  1.2.1   What is a Sequence? . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        13
                                  1.2.2   WhyDoWeNeedSequences? . . . . . . . . . . . . . .                14
                                  1.2.3   Recognizing Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . .        14
                                  1.2.4   Limits of Sequences      . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   15
                                  1.2.5   Relation to Limits of Functions . . . . . . . . . . . . .        17
                                  1.2.6   Testing Convergence of Sequences         . . . . . . . . . . .   18
                                  1.2.7   Alternating Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . .        20
                                  1.2.8   Growth Rates of Functions . . . . . . . . . . . . . . .          20
                                  1.2.9   Geometric Sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        21
                                  1.2.10 Recursively Defined Sequences . . . . . . . . . . . . .            21
                                  1.2.11 Bounded and Monotonic Sequences . . . . . . . . . . .             22
                                  1.2.12 Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .         26
                            1.3   Series   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   28
                                  1.3.1   What is a Series? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      28
                                  1.3.2   WhyDoWeNeedSeries? . . . . . . . . . . . . . . . .               30
                                  1.3.3   Geometric Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       31
                                  1.3.4   Telescoping Series     . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   34
                                  1.3.5   Harmonic Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        35
                                  1.3.6   Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        36
                            1.4   Basic Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        36
                                  1.4.1   nth Term Test for Divergence . . . . . . . . . . . . . .         36
                                  1.4.2   Combinations of Series . . . . . . . . . . . . . . . . . .       36
                                                                  3
                                    4                                                                      CONTENTS
                                              1.4.3    The Integral Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     37
                                              1.4.4    The Comparison Test . . . . . . . . . . . . . . . . . .         42
                                        1.5   Other Convergence Tests . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        44
                                              1.5.1    The Alternating Series Test . . . . . . . . . . . . . . .       44
                                              1.5.2    Estimating Error in Alternating Series . . . . . . . . .        46
                                              1.5.3    Absolute Convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . .        47
                                              1.5.4    The Ratio Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      49
                                              1.5.5    The Root Test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       50
                                              1.5.6    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       51
                                        1.6   Power Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     52
                                              1.6.1    What is a Power Series? . . . . . . . . . . . . . . . . .       52
                                              1.6.2    Convergence of Power Series       . . . . . . . . . . . . . .   53
                                              1.6.3    The Radius of Convergence . . . . . . . . . . . . . . .         54
                                              1.6.4    Representing Functions as Power Series . . . . . . . .          54
                                              1.6.5    Differentiation and Integration of Power Series . . . .          57
                                              1.6.6    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       59
                                        1.7   Taylor and Maclaurin Series . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        60
                                              1.7.1    Taylor’s Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .      61
                                              1.7.2    Computing Taylor Series . . . . . . . . . . . . . . . . .       69
                                              1.7.3    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       72
                                        1.8   Review . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     74
                                    2 Vectors and the Geometry of Space                                               79
                                        2.1   Three-Dimensional Coordinate Systems . . . . . . . . . . . .             79
                                              2.1.1    Points in Three-Dimensional Space . . . . . . . . . . .         79
                                              2.1.2    Planes in Three-Dimensional Space . . . . . . . . . . .         80
                                              2.1.3    Plotting Points in xyz-space . . . . . . . . . . . . . . .      81
                                              2.1.4    The Distance Formula . . . . . . . . . . . . . . . . . .        81
                                              2.1.5    Equations of Surfaces     . . . . . . . . . . . . . . . . . .   82
                                              2.1.6    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       84
                                        2.2   Vectors    . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   85
                                              2.2.1    Combining Vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       86
                                              2.2.2    Components . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        87
                                              2.2.3    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .       94
                                        2.3   The Dot Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .        95
                                              2.3.1    Properties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .    97
                                              2.3.2    Orthogonality . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     98
                                              2.3.3    Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .     98
                                              2.3.4    Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
                                        2.4   The Cross Product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102