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Lecture Notes in Calculus RazKupferman Institute of Mathematics TheHebrewUniversity July 10, 2013 2 Contents 1 Real numbers 1 1.1 Axiomsoffield . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Axiomsoforder(astaught in 2009) . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Axiomsoforder(astaught in 2010, 2011) . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Absolute values . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Special sets of numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 TheArchimedeanproperty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.7 Axiomofcompleteness . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.8 Rational powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 1.9 Real-valued powers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1.10 Addendum. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2 Functions 43 2.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2 Graphs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.3 Limits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 2.4 Limits and order . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 2.5 Continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.6 Theoremsabout continuous functions . . . . . . . . . . . . . . . 70 2.7 Infinite limits and limits at infinity . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 2.8 Inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.9 Uniform continuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 ii CONTENTS 3 Derivatives 91 3.1 Definition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 Rules of differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98 3.3 Another look at derivatives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.4 Thederivative and extrema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 3.5 Derivatives of inverse functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 3.6 Complements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 3.7 Taylor’s theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 4 Integration theory 133 4.1 Definition of the integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 4.2 Integration theorems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 4.3 Thefundamental theorem of calculus . . . . . . . . . . . . . . . . 153 4.4 Riemannsums . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 4.5 Thetrigonometric functions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158 4.6 Thelogarithm and the exponential . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 4.7 Integration methods . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167 5 Sequences 171 5.1 Basic definitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 5.2 Limits of sequences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.3 Infinite series . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
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