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NoBSLinearAlgebra andVectorGeometry Jeffrey Wang January 29, 2018 – May 20, 2018 version 2018.05.20.18:56 First edition ii Contents Author’s Notes i 0.1 NoBS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.2 WhatNoBSLinearAlgebracovers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.3 Whatthisstudyguidedoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.4 Whatthisstudyguidedoesnotdo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.5 Otherstudyresources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.6 Dedication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i 0.7 Sources . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 0.8 Copyrightandresale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii 1 Systemsoflinearequations 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Matrix notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Solving matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Existence and uniqueness (part 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Rowreductionandechelonform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Evaluating solutions of a linear system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Existence and uniqueness (part 2) of matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Vectors and vector equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Vector operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Vectors and matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Combiningvectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Span . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Existence and uniqueness (part 3) of linear combinations . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.5 Basic matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 ~ 1.6 ThematrixequationA~x = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Existenceanduniqueness(part4): Fourwaystorepresentaconsistentlinearsystem 11 1.7 Homogeneouslinearsystems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Parametric vector form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Non-homogeneouslinearsystemsintermsofhomogeneouslinearsystems . . . . 13 1.8 Linear independence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Linear independence of a set of one vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Linear independence of a set of two vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Linear independence of a set of multiple vectors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 iii iv CONTENTS Properties of linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10 The matrix of a linear transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Geometrictransformations in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Anothervectorrepresentation format . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Existence and uniqueness (part 5): Onto and one-to-one . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.11 SummaryofChapter1: Waystorepresentexistenceanduniqueness . . . . . . . . 18 2 Matrixalgebra 19 2.1 Matrix operations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Additionandscalarmultiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Matrix multiplication . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Transpose and inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Inverse matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 Inverse matrices and row equivalence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 Characteristics of invertible matrices: the Invertible Matrix Theorem . . . . . . . . 25 Invertible linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.4 Partitioned matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Subspaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Columnspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Nullspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Relating column space and null space together . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Standardbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Nonstandardbasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Basis examples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 Coordinate vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.8 Dimension,rank,andnullity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Determinants 33 3.1 Introduction to determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Pre-definition notations and conventions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 Definition of the determinant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Laplace expansion (cofactor expansion) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Sign patterns for terms of a determinant summation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Triangular matrix determinant calculation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.2 Properties of determinants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Summaryofdeterminantproperties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Cramer’srule . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Vector spaces 37 4.1 Introduction to vector spaces and their relation to subspaces . . . . . . . . . . . . . 37 Subspacesinrelation to vector spaces . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 4.2 Nullspaces, column spaces, and linear transformations . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.3 Spanningsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.4 Coordinate systems . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 4.5 Dimensionofavectorspace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 4.6 Rankofavectorspace’smatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
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