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1 Climate Dynamics: Concepts, Scaling and Multiple Equilibria by Gerrit Lohmann Alfred Wegener Institute, Helmholtz Centre for Polar and Marine Research, Bremerhaven, Germany. Department of Physics, University of Bremen, Bremen, Germany. Lecture Notes 2020 version of April 13, 2020 Contents I First part: Fluid Dynamics 9 1 Basics of Fluid Dynamics 10 1.1 Material laws . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Navier-Stokes equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Someexercises for Chapter 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4 Integral and differential formulation* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.5 Elimination of the pressure term . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.6 Non-dimensional parameters: The Reynolds number . . . . . . . . . . . . . . 25 1.7 Characterising flows by dimensionless numbers . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1.8 Dynamicsimilarity: Application in engineering* . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Fluid-dynamical Examples 35 2.1 Convection in the Rayleigh-Bénard system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Elimination of pressure and vorticity dynamics . . . . . . . . . . . . . 41 2.1.2 Boundary conditions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.1.3 Galerkin approximation: Obtaining the Lorenz system . . . . . . . . . . 50 2.2 Bernoulli flow* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 2.3 Couette flow* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 2 CONTENTS 3 II Secondpart: Dynamical systems 65 3 Preparation and tools 64 3.1 Pendulum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 3.2 Fourier transform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.3 Covariance and spectrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 3.4 Transport phenomena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 3.5 General form of wave equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 4 General concepts 96 4.1 ProgrammingwithR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 4.2 RMarkdown . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 4.3 Netcdf and climate data operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 4.3.1 TheBash,apopularUNIX-Shell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 4.3.2 Reducing data sets with CDO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 4.3.3 Asimplemodelofsealevelrise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 4.4 Bifurcations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 4.4.1 Linear stability analysis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 4.4.2 Population Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4.4.3 Lorenz system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142 5 Statistical Mechanics and Fluid Dynamics 149 5.1 Mesoscopic dynamics* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 5.2 TheBoltzmannEquation* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 5.3 H-Theoremandapproximation of the Boltzmann equation* . . . . . . . . . . . 159 5.4 Application: Lattice Boltzmann Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4.1 Lattice Boltzmann Methods* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 5.4.2 Simulation set-up of the Rayleigh-Bénard convection . . . . . . . . . . 169 5.4.3 System preparations and running a simulation . . . . . . . . . . . . . . 172 4 CONTENTS III Thirdpart: Dynamics of the climate system 178 6 AtmosphereandOceanDynamics 179 6.1 Pseudo forces and the Coriolis effect . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 6.2 Scaling of the dynamical equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 6.3 Thecoordinate system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 6.4 Geostrophy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 6.5 Conservation of vorticity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 6.5.1 Potential vorticity equation (ζ + f)/h . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 6.5.2 Taylor-Proudman Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 6.6 Wind-driven ocean circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213 6.6.1 Sverdrup relation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 6.6.2 EkmanPumping . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 6.6.3 Ekmanspiral* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 6.6.4 Western Boundary Currents . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 6.7 Thermohaline ocean circulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.7.1 Conceptual model of the ocean circulation: Stommel’s box model . . . . 252 6.7.2 Non-normal dynamics of the ocean box model . . . . . . . . . . . . . 260 7 Simple Climate Models 265 7.1 Engery balance model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 7.2 Moist atmospheric energy balance model* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288 7.3 Interhemispheric box model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.3.1 Modeldescription . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293 7.3.2 Runthemodel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296 7.3.3 Modelscenarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301 7.4 Weather and climate: Stochastic climate model . . . . . . . . . . . . . . . . . 304 7.5 Projection methods: coarse graining* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 328
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