jagomart
digital resources
picture1_Fluid Mechanics Pdf 157970 | 3cabcb2ceafb554d83d8a36d30074ec3 Mit2 25f13 Solution16


 136x       Filetype PDF       File size 0.12 MB       Source: ocw.mit.edu


File: Fluid Mechanics Pdf 157970 | 3cabcb2ceafb554d83d8a36d30074ec3 Mit2 25f13 Solution16
mit department of mechanical engineering 2 25 advanced fluid mechanics problem 10 16 this problem is from advanced fluid mechanics problems by a h shapiro and a a sonin consider ...

icon picture PDF Filetype PDF | Posted on 19 Jan 2023 | 2 years ago
Partial capture of text on file.
                                  MIT Department of Mechanical Engineering 
                                      2.25 Advanced Fluid Mechanics 
              Problem 10.16 
              This problem is from “Advanced Fluid Mechanics ProblemsŽ by A.H. Shapiro and A.A. Sonin 
              Consider  the  two­dimensional,  steady,  non­viscous  flow  of  an  incompressible  fluid,  with  no  body  forces  
              present. The flow has vorticity.  
              a) Show that the vorticity remains constant on each streamline.  
              b) Show that the stream function is governed by the equation  
                                           �  3      3  �      �  3      3  � 
                                        ∂ψ  ∂ ψ +  ∂ ψ    = ∂ψ ∂ ψ +  ∂ ψ                        (10.16a)
                                               3       2           3     2
                                         ∂y  ∂x    ∂x∂y      ∂x  ∂y    ∂x ∂y 
                                                                                             c
              2.25 Advanced Fluid Mechanics                1                       Copyright @ 2010, MIT 
                           Vorticity Theorems                                         A.H. Shapiro and A.A. Sonin 10.16 
                           Solution: 
                           a) First let us consider how many components the vorticity vector ω¯ has for this two dimensional flow. The 
                           vorticity vector is defined 
                                                                                    �                  !�          �                !�          �                !�
                                                              ω¯ = ∇×v¯ =  ∂w − ∂v  eˆ +  ∂u − ∂w  eˆ +  ∂v − ∂u  eˆ                                                                         (10.16b)
                                                                                        ∂y        ∂z       x         ∂z        ∂x        y         ∂x        ∂y       z 
                           Since the z­velocity is zero, w = 0, and there are no gradients along the z­direction,  ∂ = 0, we see that only 
                                                                                                                                                                    ∂z 
                           the component of vorticity along the z­direction can be non­zero, ω¯ = ω eˆ . Hence we only need to consider 
                                                                                                                                                z z
                           how the quantity ω changes along a streamline to prove that the vorticity remains constant on it. 
                                                           z 
                           The governing equations of motion for an incompressible fluid in a two­dimensional flow are 
                                                                                                            ∇·v¯= 0                                                                           (10.16c) 
                                                                                                Dv¯               1                2 
                                                                                                       =¯g − ∇p + ∇ v¯                                                                      (10.16d)
                                                                                                Dt                ρ 
                           Or alternatively 
                                                                                                         ∂u       ∂v 
                                                                                                              +         = 0                                                                   (10.16e)
                                                                                                         ∂x       ∂y 
                                                                                                                                                         !
                                                                                                                                   � 2              2 �
                                                                           ∂u          ∂u          ∂u                1 ∂p              ∂ u        ∂ u 
                                                                                 + u        + v         = g −                +               +                                               (10.16f) 
                                                                                                              x                            2          2 
                                                                           ∂t          ∂x          ∂y                ρ∂x               ∂x         ∂y
                                                                                                                                   �  2             2 !�
                                                                           ∂v          ∂v          ∂v                1 ∂p             ∂ v         ∂ v 
                                                                                 + u         + v        = g −                +               +                                              (10.16g) 
                                                                                                              y                            2          2 
                                                                            ∂t         ∂x          ∂y                ρ∂y              ∂x          ∂y
                           Although we have been told that the flow is steady and free from body forces, we seek to derive as general 
                           a result as possible, so we include them in the following derivation.  First let us take the curl of our two­
                           dimensional momentum equation, Eq. (10.16d): 
                                                                                                  Dv¯                1                 2   
                                                                                         ∇×                =¯g − ∇p + ∇ v¯                                                                  (10.16h)
                                                                                                    Dt               ρ 
                           This operation is also the same as taking the cross derivatives of Eq. (10.16f) and (10.16g) and then sub­
                           tracting them. More precisely 
                                                  Dv¯                1                 2          �  ∂              ∂      �!  Dv¯                    1                2   
                                         ∇×                =¯g − ∇p + ∇ v¯                   =           eˆ   −       eˆ      ·           =¯g − ∇p + ∇ v¯ eˆ                                (10.16i)
                                                    Dt               ρ                                ∂x y         ∂y  x            Dt                ρ                        z 
                                                                                                                                                                                     c
                           2.25 Advanced Fluid Mechanics                                                          2                                                Copyright @ 2010, MIT 
                   Vorticity Theorems                       A.H. Shapiro and A.A. Sonin 10.16 
                   Taking the first term on the right hand side of Eq. (10.16i), we have 
                                                     (                                      �  2        2 !)� 
                                                 ∂    ∂v      ∂v      ∂v           1 ∂p        ∂ v     ∂ v 
                                                          + u     + v     = g −         +          +                              (10.16j)
                                                                              y                   2      2 
                                                ∂x ∂t         ∂x      ∂y           ρ∂y         ∂x      ∂y
                   which is equal to 
                               ∂2v     ∂u∂v        ∂2v     ∂v∂v        ∂2v      ∂g      1  ∂2p       � ∂3v      ∂3v  �!
                                    +          + u      +         + v        =     y  −          +         +                      (10.16k)
                                                      2                                                   3          2 
                              ∂t∂x     ∂x ∂x       ∂x      ∂x ∂y      ∂x∂y       ∂x     ρ ∂x∂y         ∂x      ∂x∂y
                   Taking now the first term on the right hand side of Eq. (10.16i), we have 
                                                    (                                       �  2        2 !)� 
                                                 ∂    ∂u      ∂u      ∂u        − 1 ∂p +   ∂ u + ∂ u                              (10.16l)
                                                         + u      + v     = g
                                                                              x                   2       2 
                                                ∂y ∂t         ∂x      ∂y           ρ∂x         ∂x      ∂y
                   which is equal to 
                                                                                                                      !
                                2                    2                   2                  2       � 3            3 �
                              ∂ u      ∂u∂u        ∂ u      ∂v∂u        ∂ u     ∂g      1  ∂ p          ∂ u      ∂ u 
                                    +         + u        +         + v       =    x  −          +            +                   (10.16m)
                                                                          2                               2         3 
                              ∂t∂y     ∂y ∂x      ∂x∂y      ∂y ∂y       ∂y      ∂y      ρ∂x∂y          ∂x ∂y     ∂y
                   Combining Eq. (10.16k) and (10.16m) into Eq. (10.16i), we note that the cross­derivatives of pressure cancel 
                   and that if g¯ is spatially uniform any gradients in g are identically zero, and we obtain 
                    ∂2        2                                          �  2        2  �!     �  2       2 !�       � 3        3         3       3 �!
                       v    ∂ u    ∂u∂v  ∂u∂u  ∂v∂v  ∂v∂u                  ∂ v     ∂ u           ∂ v    ∂ u           ∂ v     ∂ u       ∂ v     ∂ u 
                         −       +        −        +         −        +u        −         +v          −         =         −        +         − 
                                                                              2                            2             3      2           2      3 
                   ∂t∂x  ∂t∂y  ∂x∂x  ∂y∂x  ∂x∂y  ∂y∂y                      ∂x     ∂x∂y          ∂x∂y  ∂y              ∂x     ∂x ∂y  ∂x∂y        ∂y
                                                                                                                                   (10.16n) 
                   This result may be suitably rearranged to obtain 
                                      !                    !                    !                      !                     !
                          �           �        �           �        �           �          �           �         �           �
                        ∂   ∂v − ∂u  + ∂v ∂u+ ∂v  − ∂u ∂u+ ∂v  + u ∂                         ∂v − ∂u  + v ∂        ∂v − ∂u  = 
                       ∂t ∂x  ∂y            ∂x ∂x  ∂y            ∂y ∂x  ∂y             ∂x ∂x  ∂y              ∂y ∂x  ∂y  
                                                                                      �   2   �          !�     2   �          !!��
                                                                                        ∂     ∂v − ∂u  +  ∂         ∂v − ∂u  
                                                                                           2                     2 
                                                                                        ∂x     ∂x    ∂y       ∂y     ∂x     ∂y 
                   Recalling our definitions from Eq. (10.16b) and (10.16e),  we substitute these expressions into the above 
                   equation to obtain 
                                                        ∂ω       ∂ω        ∂ω       � ∂2ω       ∂2ω !�
                                                           z  + u   z  + v    z  =        z  +     z                              (10.16o)
                                                                                          2        2 
                                                         ∂t       ∂x       ∂y          ∂x       ∂y
                                                                                                                             c
                   2.25 Advanced Fluid Mechanics                               3                                 Copyright @ 2010, MIT 
                    Vorticity Theorems                        A.H. Shapiro and A.A. Sonin 10.16 
                    or alternatively, we can write Eq. (10.16o) as 
                                                                          Dω
                                                                              z        2
                                                                           Dt  = ∇ ωz                                                  (10.16p)
                    This result reveals, that if a flow is non­viscous, (i.e.    = 0), Dω /Dt = 0 and hence the vorticity of a 
                                                                                                   z
                    material element will not change as it moves along a streamline, so the vorticity remains constant on each 
                    streamline. 
                    b) Recall that the stream function ψ(x,y) is related to the velocity field by the equations 
                                                                         ∂ψ                  ∂ψ 
                                                                    u =         &     v = −                                             (10.16q)
                                                                         ∂y                   ∂x 
                    If we substitute Eq. (10.16q) into our definition for ω , we have the relation 
                                                                                  z 
                                                                  ∂v     ∂u       ∂2ψ     ∂2ψ 
                                                           ω                                           2
                                                            z  =      −      = −     2  −     2  = −∇ ψ                                 (10.16r)
                                                                  ∂x     ∂y       ∂x       ∂y
                    Substituting this result into Eq. (10.16o) with  = 0 and ∂/∂t = 0 since we have steady flow, we obtain 
                                                                             !                            !
                                                              � 2         2  �            � 2          2  �
                                                      ∂ψ ∂      ∂ ψ     ∂ ψ        ∂ψ ∂      ∂ ψ     ∂ ψ 
                                                    −              2  +     2   +               2  +     2   = 0                        (10.16s)
                                                      ∂y ∂x  ∂x          ∂y        ∂x∂y  ∂x           ∂y
                    which can be rewritten to obtain our final result 
                                                            �  3ψ       ∂3ψ  �!      ∂ψ �∂3ψ         ∂3ψ  !�
                                                        ∂ψ  ∂       +            =              +                                       (10.16t)
                                                                  3          2                3       2
                                                         ∂y  ∂x        ∂x∂y          ∂x  ∂y        ∂x ∂y 
                                                                                                                                               D 
                    Problem Solution by TJO, Fall 2010 
                                                                                                                                  c
                    2.25 Advanced Fluid Mechanics                                 4                                  Copyright @ 2010, MIT 
The words contained in this file might help you see if this file matches what you are looking for:

...Mit department of mechanical engineering advanced fluid mechanics problem this is from problems by a h shapiro and sonin consider the two dimensional steady non viscous ow an incompressible uid with no body forces present has vorticity show that remains constant on each streamline b stream function governed equation y x c copyright theorems solution first let us how many components vector for dened v w e u z since velocity zero there are gradients along direction we see only component can be hence need to quantity changes prove it governing equations motion in dv g p d dt or alternatively f t although have been told free seek derive as general result possible so include them following derivation take curl our momentum eq operation also same taking cross derivatives then sub tracting more precisely i rst term right hand side j which equal k...

no reviews yet
Please Login to review.